Triangle rectangle et cercle circonscrit

Propriété

Si un triangle est rectangle alors son cercle circonscrit pour diamètre l'hypoténuse du triangle.

Preuve

Nommons ABC le triangle comme sur la figure ci-contre et traçons la médiatrice d du segment [AB]. d coupe [BC] en O. Comme O est un point de la médiatrice, OB=OC. Le triangle OAB est donc isocèle en O. Ainsi les angles rouges sont égaux.
Comme le triangle ABC est rectangle en A, d'une part l'angle bleu est un complémentaire de l'angle rouge de sommet A, d'autre part, l'angle noir est un complémentaire de l'angle rouge de sommet B. Les angles bleu et noirs sont donc égaux, on en déduit que le triangle AOC est isocèle en O. On a donc OA=OC.
On a finalement OA=OC=OB, O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, O est le milieu de [BC], ainsi le cercle circonscrit du triangle ABC a pour diamètre son hypoténuse [BC].